توضیح اصطلاحات کلیدی 📚
- ترکیب (Combination): روشی برای انتخاب تعدادی از اشیاء از یک مجموعه بدون در نظر گرفتن ترتیب.
- فاکتوریل (!): حاصل ضرب تمام اعداد صحیح مثبت کوچکتر یا مساوی یک عدد مشخص. به عنوان مثال، ۵! = ۵ × ۴ × ۳ × ۲ × ۱ = ۱۲۰.
فرض کنید 8 نقطه روی یک خط قرار گرفته‌اند. با اتصال هر دو نقطه به یکدیگر، چند پاره‌خط ایجاد می‌شود؟ 🤔
برای تشکیل یک پاره‌خط، نیاز به انتخاب دو نقطه از بین ۸ نقطه موجود داریم. این مسئله را می‌توان با استفاده از ترکیب (combination) حل کرد. فرمول ترکیب به صورت زیر است:
در اینجا، n تعداد کل نقاط (8) و k تعداد نقاطی است که برای تشکیل یک پاره‌خط انتخاب می‌کنیم (2). بنابراین:
بنابراین، با اتصال هر دو نقطه به یکدیگر، ۲۸ پاره‌خط ایجاد می‌شود. 🎉
می‌توانیم مسئله را به صورت گام به گام حل کنیم:
در مجموع، تعداد پاره‌خط‌ها برابر است با: ۷ + ۶ + ۵ + ۴ + ۳ + ۲ + ۱ = ۲۸. 🤩
به طور کلی، اگر n نقطه روی یک خط قرار داشته باشند، تعداد پاره‌خط‌های ایجاد شده با اتصال هر دو نقطه به یکدیگر برابر است با:
در این فرمول، تقسیم بر ۲ به دلیل این است که هر پاره‌خط دو بار شمارش می‌شود (یک بار برای هر نقطه انتهایی آن). 🤓
این مسئله یک نمونه ساده از مسائل ترکیبیاتی است که در بسیاری از زمینه‌های ریاضیات، علوم کامپیوتر و مهندسی کاربرد دارد. به عنوان مثال، در طراحی شبکه‌ها، محاسبه تعداد اتصالات ممکن بین گره‌ها، یا در آمار، انتخاب نمونه‌ای تصادفی از یک جمعیت بزرگ.
| روش حل | فرمول/استدلال | تعداد پاره‌خط‌ها |
|---|---|---|
| ترکیبیاتی | C(8, 2) = 8! / (6! * 2!) | ۲۸ |
| گام به گام | ۷ + ۶ + ۵ + ۴ + ۳ + ۲ + ۱ | ۲۸ |
| فرمول کلی | n * (n - 1) / 2 | ۲۸ |